韦达公式推导#
一元n次方程 $$
(1)#\[\begin{align}
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0
\end{align}\]
\[
的根为 $ x_1, x_2, ..., x_n $ ，其中 $ a_n \neq 0 $ 。
那么(1)式可以写成下面的形式：
\]
(2)#\[\begin{align}
a_n(x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n) = 0
\end{align}\]
\[将其展开,并观察多项式系数, $ x_{n-1} $ 的系数:
$$ -(x_1 + x_2 + ... + x_n)a_n\]
常数项：
\[ (-1)^nx_1x_2...x_{n-1}a_n\]
比较常数项和 \( x_{n-1} \) 的系数，可以得到：
\[\begin{split}
\begin{aligned}
a_0 &=(-1)^nx_1x_2...x_{n-1}a_n \\
a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + ... + x_n)a_n
\end{aligned}
\end{split}\]
\( \therefore \) $$
(3)#\[\begin{equation}
\begin{aligned}
&\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2...x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\
&\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}
\end{aligned}
\end{equation}\]
$$
这就是一元n次方程的韦达公式。