赫尔维茨定理证明

赫尔维茨定理(Hurwitz theorem)证明

赫尔维茨定理(Hurwitz theorem)赫尔维茨定理由赫尔维茨和鲁歇(Rouche , E.)于1895年给出，亦称为赫尔维茨一鲁歇判别法。这个定理是控制理论中的一个数学判据，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。
定理的内容为：
对称矩阵为正定的充要条件是：矩阵的各阶主子式都为正；对称矩阵为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
关于定理的证明，同济大学第六版线性代数不予证明。查阅网上，关于定理的证明几乎千篇一律全是错的。

证明思路

其实证明也很简单，只需要证明各阶主子式为正定或者负定，然后根据正定负定矩阵性质即可得证。

正定负定定义

设二次型 \(f(x)=x^TAx\) ,如果对任何 \(x \neq 0\) 都有 \(f(x)>0\) 则称 \(f\) 为正定二次型，对称矩阵 \(A\) 是正定的；如果对任何 \(x \neq 0\) 都有 \(f(x)<0\) 则称 \(f\) 为负定二次型，对称矩阵 \(A\) 是负定的。

性质

• 矩阵是对称矩阵

• 正定矩阵所有特征值是正数，负定矩阵所有特征值是负数

证明

正定充分性证明

即证明正定矩阵的各阶主子式都为正。 ，负定矩阵奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。 设 \(A\) 为 \(n\) 阶正定矩阵，根据定义

\[ f(x)=X^TAX >0 \]

取非零向量

\[\begin{split} X^T=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k,0,\dots,0)\\ \end{split}\]

其中 \(k\) 为 \(n\) 阶矩阵的非零元素的个数， \(x_k\) 为 \(n\) 阶矩阵的非零元素组成的向量

\[ X_k^T=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k) \]

矩阵 \(A\) 可以分块表示为

\[\begin{split} A_k=\begin{pmatrix} A_{k} & B \\ C & D \end{pmatrix} \end{split}\]

那么

\[\begin{split} \begin{aligned} f(x)&=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k,0,\dots,0)\begin{pmatrix} A_k & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\x_k\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \\ &=X_k^TA_kX_k\\ \end{aligned}\\ \end{split}\]

根据正定定义， \(x_k\) 是非零向量

\[ f(x)>0 \]

那么，

\[ f(x)=X_k^TA_kX_k>0 \]

根据定义， \( A_k \) 也是正定的。
\( A_k \) 为 \( k \) 阶矩阵， \( \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k \) 分别是 \( A_k \) 的特征值。

注意：\( \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k \) 并非矩阵 \(A\) 的其中 \(k\) 个特征值。

那么根据矩阵特征值性质（谱定理）

\[ \lambda_1\lambda_2\dots\lambda_k=|A_k| \]

再根据正定矩阵性质，特征值 \( \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k \) 均大于0
所以

\[ |A_k|>0 \]

正定矩阵的各阶主子式都为正，充分性得证。

正定必要性证明

即证明如果对称矩阵各阶主子式都为正，那么矩阵是正定矩阵。