银行推销的“低息”贷款到底划算吗？

1. 前言

我们经常收到银行的贷款推销，有的利息较高，我们通常就直接拒绝了，但是有些看似利息较低甚至可以“赚差价”的，没有仔细计算就接受了。如果仔细计算，就会发现其实中了圈套。

真实案例：
贷款分12期还款，贷款10000的话，每月还款848.333（等额本息），总计还款10180，年化利率1.8%？虽然1年期存款利率目前已经进入1时代，但是有些小银行或者理财产品可以做到2左右。按2%的平均利息水平粗略一算，10000块存起来可以赚200利息，贷款利息180，还能赚20块钱。聪明的读者，这样算对吗？能赚到利息差价吗？

乍一看，好像是赚了20块钱，但实际上赔了73块。下面我给大家详细算一下。

2. 计算思路

比较贷款存1年的本息和每月还款总额。按照复利计算，到一年后结清贷款时我们总共的支出。然后比较二者谁大即可。

2.1 变量说明

变量	描述
N	贷款金额
m	还款期数
r	年利率，按2%
R	月利率=r/12
A	每月还款金额 848.333

2.2 存款的本息

\[ C = N * (1+r) * 1 \]

代入数值

\[ C = 10000 * (1+0.02) * 1 = 10200 \]

2.3 还款成本总额

计算还款总额需要考虑复利，每个月的还款复利金额为：

第1个月的还款复利为：

\[ H_1=A * (1+R)^{m-1} \]

第2个月：

\[ H_2=A * (1+R)^{m-2} \]

第3个月：

\[ H_3=A * (1+R)^{m-3} \]

第k个月：

\[ H_k=A * (1+R)^{m-k} \]

第12个月：

\[ H_12=A * (1+R)^{m-12}=A \]

\(H_i\) 是等比数列，求和：

\[\begin{split} \begin{aligned} H &= \sum_{i=1}^{m} H_i \\ &= A \frac{1-(1+R)^m}{1-(1+R)} \\ &= A \frac{(1+R)^m-1}{R} \end{aligned} \end{split}\]

代入数据

\[\begin{split} \begin{aligned} H &=848.333 * \frac{(1+\frac {0.02}{12})^{12}-1}{\frac {0.02}{12}} \\ &=10273.83 \end{aligned} \end{split}\]

3. 贷款年化利率

3.1 计算思路

银行贷款成本等于用户还款成本。
银行贷款成本：

\[ B = N*(1+R)^m \]

等额本息用户还款成本：

\[ H = A \frac{(1+R)^m-1}{R} \]

由 \( B=H \) 可得：

\[\begin{split} \begin{aligned} A &=\frac {N(1+R)^m}{\frac{(1+R)^m-1}{R}} \\ &= \frac {NR(1+R)^m}{(1+R)^m-1} \end{aligned} \end{split}\]

代入数据：

\[ 848.333 = 10000 \frac {(1+R)^{12}}{(1+R)^{12}-1} \]

这个方程解起来有点复杂，借助数学软件：

利率应该大于0，所以只取第一象限的解。

月利率为： 0.00275533
年利率为： 0.03306

4. 总结

今天的100元钱和明年的\(100*(1+r)\)具有相同的价值。粗略计算时只是把每月还款额简单累加，这是不对的。还给银行的钱如果我们存银行一样可以获得利息，所以还款的成本不能简单累加，还需要计算它们的利息。

银行就是以看起来好像利息不高的方式，诱惑客户贷款，客户一般很少去精确计算还款成本，因此上当。看似年化利率只有1.8%，但是实际年化利率却高达3.3%。不仅不能赚取 0.2% 利率差价，还要赔 0.73%！